Intégration par parties (IPP)

Théorème

Soit \(u\) et \(v\)   deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et telles que \(u'\) et \(v'\) sont continues sur   \(I\) . Soit \(a\) et \(b\) deux réels de  \(I\) .
Alors on a \(\displaystyle \boxed{\int_{a}^{b}u'(x)v(x) \text{ d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_a^b-\int_{a}^{b} u(x)v'(x) \text{ d}x}\) .

Démonstration

Soit \(u\) et \(v\)   deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et telles que \(u'\) et \(v'\) sont continues sur   \(I\) . Soit \(a\) et \(b\) deux réels de  \(I\) .
On a \(u'v=(uv)'-uv'\) sur \(I\) .
Alors, en intégrant, et par linéarité, on obtient :   \(\displaystyle \int_a^b(u'v)=\displaystyle \int_a^b(uv)'-\displaystyle \int_a^b(uv')=\Big[uv\Big]_a^b-\displaystyle \int_a^b(uv')\) .

Remarque

Cette méthode d'intégration par parties sert pour :

• calculer des primitives de fonctions s'écrivant comme un produit ;
  
• calculer des primitives de fonctions dont les règles de calcul de primitives vues dans le chapitre sur les primitives ne permettent pas de les trouver facilement ;
  
• étudier des suites d'intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence.